Задачі з стереометрії

1.Через вершину А гострого кута прямокутного трикутника ВАС до площини трикутника проведено перпендикуляр АМ довжиною 13 см. Відомо, що гострий кут A рівний 30 градусів, а гіпотенуза AC=6 cм. Знайдіть відстань від точки М до прямої ВС у см. 
Розв'язання: Перш ніж виконувати будь-які обчислення виконаємо побудову прямокутного трикутника та нормалі до нього.

Шукана відстань рівна гіпотенузі MB прямокутного трикутника. Знайдемо спершу невідомий катет прямокутного трикутника. Оскільки гострий кут рівний 30 градусів, то гіпотенуза прямокутного трикутника в два рази більша протилежного до кута катета, тобто BC=3 см. Далі обчислюємо катет 

Знаходимо відстань від точки до прямої – це гіпотенуза трикутника

Ось і всі розрахунки. 
Відповідь: 14 см. 
2.Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди, в см2 . 
Розв'язання: Виконаємо побудову правильної піраміди та її перерізу

За умовою основою піраміди є квадрат зі стороною 6 см. Висота піраміди з висотою трикутника проведеного на грані (трикутнику) утворюють кут (180-90-60)=30 градусів. 
Звідси висота трикутника (грані) рівна подвійній довжині половини сторони піраміди, тобто 3*2=6 см. 
Маємо всі дані для обчислення повної площі піраміди=площа основи + 4 площі трикутників
S=6*6+4*6*6/2=36*3=108 (сантиметрів квадратних). 
З розв'язку можна переконатися, що на тестах чи екзамені подібну задачу зможе виконати школяр 10, 11 класу.
Тому й абітурієнти повинні знати методику обчислень такого роду задач із стереометрії. 
Відповідь: 108.
3. Площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 20 см , 24 см і 30 см . Знайдіть об'єм паралелепіпеда, у см3 . 
Розв'язання: Спершу виконаємо побудову, це дозволить уявити з чим маємо справу. Позначимо сторони паралелепіпеда через a, b, c.

Складемо рівняння до задачі на основі умови 
1) a*b=20;
2) b*c=24;
3) c*a=30. 
Щоб визначити одну із невідомих помножимо перше на третє рівняння і розділимо на друге. 
В результаті отримаємо
a*a=20*30/24=25; a=5. 
З рівнянь знаходимо решта сторін паралелепіпеда
с=30/a=30/5=6; b=24/c=24/6=4. 
Обчислимо об'єм паралелепіпеда 
V=4*5*6=120 (сантиметрів кубічних). 
В 11 класі подібні завдання зустрічаються часто. 
Рівняння і схема їх спрощення досить прості для засвоєння школярами, тому запам'ятайте їх.
Відповідь: 120. 

Стереометричні фігури

Теореми

Теорема 1

Через пряму і точку, що не лежить на цій прямій можна провести площину, до того ж тільки одну.

Теорема 2

Через дві прямі, що перетинаються проходить площина, причому тільки одна.

Теорема 3

Через дві паралельні прямі можна провести площину, причому тільки одну.

Аксіоми

• Аксіома 1
  Якою б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.
• Аксіома 2
  Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.
• Аксіома 3
  Через три точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і дотого ж тільки одну
• Аксіома B1
  Паралельними звуться прямі, що не перетинаються і лежать в одній площині.
• Аксіома B2
  Прямі, що не перетинаються і не лежать в одній площині звуться мимобіжними
• Аксіома B3
  Якщо пряма не лежить на площині і не перетинається з нею, то пряма паралельна площині
• Аксіома B4
  Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
• Аксіома B5
  Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перетинаючись з цією площиною, утворює прямий кут з кожною прямою проведеною в цій площині через точку перетину прямої і площини.

Стереометрія

Стереометрія —(від грец. «стереос» — тілесний, «метрео» — вимірюю) — це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі, а також властивості просторових фігур. Основними фігурами в просторі є точка, пряма та площина.

В стереометрії з'являється новий вид взаємного положення прямих: прямі, які схрещуються. Це одне з небагатьох значних відмінностей стереометрії від планіметрії, оскільки в багатьох випадках задачі зі стереометрії вирішуються шляхом розгляду різних площин, в яких виконуються планіметричні закони. Великий клас стереометричних задач розв'язується за допомогою векторів методом координат.